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274 佛教的數學

時間:一九五三年九月七日 

地點:台北立信會計職業學校

諸君在這裡是研究會計學的,會計這一門學問是離不了數學的,無論是政府會計、銀行會計、成本會計、若沒有很好的數學基礎,也是不能入門的。現在我來和諸君談談佛教中的數學。

我們生存在這茫無邊際的世間上,一切的思想、言說,都是用推比來覺知的,這個推比首要的工具就是數量,不然的話,我們既無法求得覺知,亦無法運用思想言說。數量不離數學,一切科學是以數學基礎,即使哲學上也有人主張數量是宇宙萬有的本源(如老莊說「道」生一、一生二、二生三、三生萬物),這都是由於一般人懂得了比量而沒有了解到真現實量。

現在,我們就先從比量上的數學說起:

本來,數學並不是單來計算數量的,除了數量的計算以外,更有空量(空間)和時量(時間)的計算。數量的計算,好比二加二等於四,空量的計算如形體的幾何學,時量的計算即古今過去現在未來。但是,在空量和時量上,還是離開不了數量,所以,近人就綜合之稱為數學。

數學中既然分有數量、空量、時量,我現在就以佛學上的說法,把它一一解釋如下:

一、先解說數量

我們中國計算數量是以十進位,共計為:一、十、百、千、萬、億、兆、京、垓、秭、壤、溝、澗、正、載的等單位。實際上現在億以上都是由萬數來表達,比如十萬,百萬,千萬等,億兆的數量名稱已不多用,京垓秭壤更是少人知道了。

這不但中國是如此,就是說西洋的計數,雖然或者是不止這些單位,但實際用的也不過六、七位。佛教各經論中,計算數量多用洛叉(億)、俱胝(京)、阿僧祇等,實在已經超過人間常用的數位。在大小乘的論典中,以及《佛所行讚》、《法華經》、《華嚴經》等,雖然計算數法及數目多少的次序並不一致,但綜合的來看,還是一般的十進的加法與倍進的乘法而已。

現在解說佛經上的數量,分三點次第說明,一是代表初期小乘佛學的上座部說,二是代表後期小乘的《俱舍論》說,三是代表大乘學的《華嚴經》說。

初期的原始佛教,本分有上座部與大眾部,今日錫蘭、緬甸、暹羅所傳的佛教,就是屬於上座部,這一派對於數量的說法,根據所傳承而共信的,從十進百的十進位,共十六位,和我國的數量相較,已多了二位,因為中國雖然也說有十六位,但那是從一數起。上座部的十六位數量,並不是佛學所特有的,古來印度相傳的計算方法,就是這十六位,今列表如下:

十個十等於一百

十個百等於一千

十個千等於一萬

十個萬等於一洛叉(億)

十個洛叉等於一大洛叉(兆)

十個大洛叉等於一俱胝(京)

十個俱胝等於一額部曇(垓)

十個額部曇等於一缽曇摩

十個缽曇摩等於一大阿庾多

十個大阿庾多等於一那庾多

十個那庾多等於一大缽曇摩

十個大缽曇摩等於一缽羅庾多

十個缽羅庾多等於一三慕達羅(正)

十個三慕達羅等於一末陀(載)

十個末陀等於一大矜羯羅

十個大矜羯羅等於一頻跋羅

在這十六位的前面,如果再加上一數位及十數位,則成十八位,就是十個萬萬萬萬,我國的十六位不過是千個萬萬萬。

世界各國通用的數字,雖然至兆即止,但文化是發達進步的,佛教的學者們覺得此數還不夠用,所以又有《俱舍論》五十一位的數量位的產生。

《俱舍論》五十一位的數量位,也是十進法,把這五十一位的名稱寫在下面:



最高的五十一位阿僧祇數,就是千個萬萬萬萬萬萬萬萬萬萬萬萬萬的數量,佛經裡記載佛陀的說法,常用的阿僧祇的數位,就是指此數而說。在《華嚴經》中也曾說到阿僧祇,但那個阿僧祇並不是這裡所說的十進位的阿僧祇,因為數目分三等:一、下等數法,十十變之,二、中等數法,百變之,三、上等數法,倍倍變之。《華嚴經》所說,雖然駭人聽聞,但近來研究科學的學者,計算太陽系的原子數,或是計算太陽系生長變壞的秒數,應該是不為多。他們說:光的速率為一八六二八○哩,在一秒鐘內光能環繞地球七週半。據現代科學所能了知的宇宙直徑為一百萬萬光年,其質量為在一字的下面圈八十三個圈,即等於所有電子的質量,如果這個數字不用佛經中的數目表明,則一字之下圈八十三個圈的數量,將叫什麼名稱呢?即使以《俱舍論》所說的五十一位,也嫌不足,那只得進一步探究《華嚴經》所說的數位了。

《華嚴經》中所說的數量,是在《華嚴經》中的〈阿僧祇品〉,心王菩薩問佛:云何阿僧祇乃至不可說?佛就為他說算數無盡之法。

茲將《華嚴經》中所說的數量,列之於下:



至(以上十地菩薩數學)     阿僧祇(以下為佛陀之學)



《華嚴經》中所說的數量位共有一二六位,俱胝以前,是平常世俗的數位,都是十進的加法,俱胝以後,為一般科學者研究的數位,依此可以漸漸的測知佛陀所證知的數位。佛陀的數學,從阿僧祇起,共有二十位,這是用倍倍相乘的進法,其數之多,窮於計算。在《華嚴經》中,其餘各品都是菩薩說的,唯有這〈阿僧祇品〉是佛親口所說,菩薩只能從佛陀學習這樣的數學。因為虛空無盡,世界無盡,眾生無盡,若沒有佛陀的數學,則其中廣大狹小,一切名稱,無由得知,所以,唯有佛陀的智慧才能窮究數學之源。

二、次說空量

在數學裡,計算空間點線面積的是幾何學,佛學裡並不曾縝密的另創新說,不過,在大乘的學說中,對於空間,佛陀也曾汎言佛剎與微塵數,對於佛剎而論及十方無盡世界;對於微塵,並不詳言微塵的數量,以及微塵如何積聚而成佛剎。這是因為大乘人了解到有情的器世間等,都是幻象不真,所以只觀空而不分析;而小乘是以分析觀空,故對極微曾加以分析。當初印度的佛學者,對萬物起源的研究,認為是地水火風四大種因緣所組成,雖然一切萬物是四大種因緣組合而成,但四大種也必有他的出發點,以形成單位,然後山河大地,才得以形成。這種假想分析證明法,是說四大迭分迭細,至於極渺小的地位,科學經驗不能覺知,物理手續不能分割,此即名之為極微。近代科學家以物理的分析為最細小的是原子、電子,但電子還可分析,此即佛教中所說的極微。

今以小乘《俱舍論》,以最單點為極微,則七個極微為一個微量,積七個微量為一個金塵量,積七金塵為一水塵量,積七水塵為一兔毛塵量,積七兔毛塵為一羊毛塵量,積七羊毛塵為一牛毛塵量,積七牛毛塵為一隙遊塵量。這個隙遊塵飛散在空中,就是我們肉眼所見的色塵,其逐次增加的數目,列表如左:

極 微──一個極微

微──七個極微

金 塵──四十九個極微

水 塵──三四三個極微

兔毛塵──二四○一個極微

羊毛塵──一六八○七個極微

牛毛塵──十一萬七六四九個極微

隙遊塵──八十二萬三五四三個極微

以八十二萬三五四三個極微,成為一個隙遊塵,那麼,則極微的渺小,很可驚人了!

微塵是約集合空量的小數單位而言,若一個佛剎或一個國土,究以多少微塵集合而成,以我們普通的數法,那是難以計算的!

佛經裡講到空間的距離,依印度習俗都是用由旬,由旬梵語是踰繕那,華言限量,分有三等,上等由旬八十華里,中等由旬六十華里,下等由旬四十華里。佛經裡對於空間的距離,有時一說就是八萬四千由旬。有時一說就是十萬億佛土,實際上說來,這都是把抽象的變為具體罷了!

三、再說時量

我們看到月亮的圓缺,知道時間的運轉不停;我們體察心念的生滅,知道了時間的短暫。我們人類普通的計算時間,最短的是一瞬,為時間最小的單位;把時間說得很長的是生物學者,他們的生物紀一說都是若干萬年;地質學者更有較長的地層紀,他們一說都是幾千萬年;最長的是天文學者的天體紀,一說都是若干萬萬年。雖然如此,但與佛陀的相較,相差程度是不能想像的。

「一瞬」的正確時間究竟有多少?經過很多科學家實驗後的平均值是五分之二秒,這其中包括:放下眼瞼是十分之一秒,眼瞼放下後的停止狀態是十分之一點五秒,眼瞼又再提升是十分之一點五秒,總合之一瞬即五分之二秒。以我們中國計算時間的說法,從一瞬推上去是一須臾,但多少一瞬才為一須臾,是沒有辦法計算的。有的計算時間是三十須臾為一時辰,十二時辰為一晝夜,約三十晝夜為一月,三月為一季,四季為一年,三十年為一世,如此而止。現在世界所通用的是六十忽為一秒,六十秒為一分,十五分為一刻,四刻為一小時,二十四小時為一日,約三十日為一月,約三六五日分為十二月為一年,百年為一世紀,每逢百年增數為一世紀。

世間對時量的一般計算,略如上說,那麼佛學中的時量如何計算呢?

佛學中的時量,分小時、中時、大時,以《俱舍論》之說略解如下:

小時量的計算:在佛學中大抵是以「剎那」為時量最小的單位。在《仁王護國經》中說,梵語剎那,中國的意思名為一念,一念中有九十剎那,一剎那中有九百生滅,若具體一點說,所謂「少壯一彈指,六十三剎那」。一分鐘內,為四千五百個剎那。《大毗婆沙論》說一晝夜有六四六六○六六六八○剎那。實在說來,剎那的真量,除佛陀外餘皆不能盡知,因為能知的心念粗細懸殊,所知的時量也就千差萬別。今以《俱舍論》的說明如下:

百二十剎那為一怛剎那

六十怛剎那為一臘縛

三十臘縛為一牟呼栗多

五牟呼栗多為一迦攞

六迦攞為一晝夜

依這樣的推算,則一晝夜是三二八二萬剎那,比《毗婆沙論》的六十四萬萬六六○六萬六六八○個剎那為一晝夜的計算是粗顯得多了。因為這樣才便於常人及學者的運用,若準確微細計算時間,除了佛陀,不是我們心量所能覺察思辨的。

中時量的計算:佛經裡常有晝夜六時的記載,此即指六迦攞而言,一個晝夜,分為六時,晝三時,即上日(辰巳)中日(午未)下日(申酉),夜三時,即初夜(戌亥)中夜(子丑)後夜(寅卯)。從晝夜往上推,則為:

三十晝夜為一月

四個月為一季(我國三個月為一季,一年為春夏秋冬四季,蓋印度每年分寒季雨季熱季,與他處不同)

三季為一年

一百年為一世(我國三十年為一世)

五百年為一變(此可見於釋尊說法初五百年如何,後五百年如何可知)

一千年為一化(此可見釋尊說正法千年象法千年可知)

一萬二千年為一週(此可見釋尊說正法象法末法共為一萬二千年可知)

從中時量的計算,我們可以看出,佛教說小時量的單位為剎那,說大時量的為大劫,這是因為剎那便於體察心念的生滅,大劫便於說明物界成壞的相續,中時量對於人文的相續,較欠詳盡的發揮,所以對於年以上的世態變遷,就很難知道它的歷史了。

大時量的計算:佛學中說大時量常用「劫」字,劫就是大時的意思。分小劫中劫大劫三種。一個小劫究竟是多少時間?從人壽十歲算起,每過一百年增加一歲,加到八萬四千歲,然後再從八萬四千歲每隔一百年減一歲,減到十歲,總共一六八○萬年叫做一小劫。以此往上推,則為:

一個小劫為一六八○萬年

二十個小劫為一個中劫

四個中劫為一個大劫〔一個大劫中有成(世界生長期)住(世界壯盛期)壞(世界老死期)空(世界滅無期)〕,如此成住壞空相續循環一次為一大劫。

七個大劫(亦名火壞劫)為一水壞劫

七個水壞劫為一風壞劫

以這樣計算,一個風壞劫中有七水劫,四十九火劫,一九六中劫,三九二○小劫,六五八萬萬五千六百萬年。佛經裡常說的劫,大都指的這風水火的劫而言,有些經裡常說到釋尊修三大阿僧祇劫而得成佛果的故事,在這三大阿僧祇劫中,忍人所不能忍,行人所不能行,然後方於菩提樹下成等正覺。這種時量之長,真夠駭人!《阿彌陀經》中,說「阿彌陀佛成佛以來,於今十劫」的時量,也是很難計算的了。

四、佛教看數量

依佛教的真理來講數量,原來是:一個不是少,萬億不是多;一就是多,多不離一。

對佛教沒有研究的人,見了這句話,一定大惑不解,然而,這的確是一種真理,無法加以否認。

我們現在來講「一個」,什麼才叫做「一個」呢?我在這裡和諸位講話,「我」是一個;我在這間教室中講話,這間教室也是一個;這間教室在台北,台北也只一個;台北在台灣,台灣也只有一個;台灣是中國,中國也是一個;中國是世界的一環,世界也是一個;世界是虛空中的一個行星,然而虛空也是一個。宇宙中沒有兩個同樣的東西,然而這些「一個」,究竟哪「一個」多,哪「一個」少呢?所以,仔細的想想,一個實在不能說它是少的!反之,萬億也在「一個」之中,也不能說它多。因為一是不離多,多是不離一的。在佛教中,說萬物相關,萬物一體。一與多,相容相入,一就是多,多也就是一。好比說,零本來沒有,但把零圈在一萬萬的後面,這個零可就太多了。黑板的粉筆,這粉筆的一粒灰塵,就是集合了萬物的力量才能形成的。這一粒粉筆的灰塵,假若是白粉的泥土做的,那麼,就離不了做這支粉筆的模型、工作的人員、養活那些工作人員的衣食住行等資源,他們都有密切不能離開的關係。衣食住行從何而來?那又不能離開供給衣食住行的世界上一切的人,還有,產生這些原料的土地與日光空氣水,如果缺少一個,這點粉筆的灰塵都不會做成,都不會落在這裡。所以說一中含多,多中含一;一個不是少,億萬不是多,一與多是表裡的關係,並沒有特別的兩樣。

實在說來,這一與多,本來是不可說的,在《維摩經》中,文殊問維摩詰:「何等是菩薩入不二法門?」時維摩詰默然無言!文殊歎曰:「善哉!乃至無有文字語言,是真入不二法門。」「不二法門」,這正是數量無一無多的最好說明。

五、佛教看空量

依佛教的真理來講空量,原來是:

大中有小,小中含大;遠不在天邊,近不在眼前。

研究佛教的人,都知道螺螄殼內,諸佛菩薩可以作道場,這是多麼不可思議的境界!佛於一毫端中,光明能遍周法界,這又是多麼難猜測的事情!然而,這絕不是異想天開的神話,而確是如此的。

前面曾說過,空量的最小是微塵,最大的是剎土。現在假定說,十萬萬個太陽系,大千世界為最大量,這是今日天文學中所能窺探的,但這只是人類比量所知的境界,若以人身上的細胞來說,把我們人身看成是地球,而人間的地球,即成為不可知的宇宙。如果拿色究竟天的有情來說,他們身高十萬踰繕那,大於地球好多倍,我們此世界人類,其小甚於彼身上的細胞。一隻烏龜每小時可走七公尺,在同一時間內,一隻兔子可跑六十五公里。人類嫌其狹小的花園,一隻螞蟻走進去可能找不到家。如此大小相差,長短距離,廣狹厚薄,以及南北東西,上下之量,那實在是不能有一定的說法了。

佛教裡有兩句話:「須彌藏芥子,芥子納須彌。」過去有一個讀書人不懂,問一位師父:「師父!你們佛教中這兩句話,第一句須彌能藏芥子,倒也罷了,但第二句太不通,因為芥子怎麼好納須彌呢?」師父回答說:「你們讀書人知道『讀書破萬卷,落筆如有神』這兩句話嗎?這萬卷書讀到什麼地方去了呢?」那位讀書人把肚子一拍說:「讀在我的肚子裡呀!」師父又說:「既然萬卷書都能讀進你的肚子裡去,那麼,這裡有一本書請你裝進肚子裡去吧!」那個人被師父這麼一說,方才悟到空量的大小原來是這樣相容的!

佛說一微塵中有無數剎(一剎即為億萬太陽系),無數剎中有無數佛,一一佛身各毛孔中有無數剎,剎中佛身,佛身毛孔,毛孔中剎,重重無盡,這樣看來,極小的極微又不知大於太陽系多少倍了。從此可知,我們今日所知的空量,皆是此世界有情幻覺中的幻相,因為有情界各有各的不同空量。我們從中國到日本,相隔數千里,即使坐噴射客機,也要幾個小時;西方極樂世界,離此十萬億佛土,一念之中,即可往生;此可知空量的距離,近不在眼前,遠亦不在天邊。

六、佛教看時量

依佛教的真理來講時量,原來是:促一剎那而非短, 延無量劫而非長。

我們從世間的有情界來看時間,所謂長短久暫,延促相差,都是幻覺不真。

親朋好友相聚歡談的時候,數小時等於一瞬;怨家對頭相逢一起的當兒,幾分鐘也好似歷時數年。蜉蝣不知晝夜,朝生夕死;彭祖八百歲,幾經滄桑;他們都覺得同樣的度過了一生,生命的久暫本來都是幻覺而不實在的。

我們看到日出日沒,知道是日已過,但地球上半年有太陽,半年無太陽,他們的一日如何計算?人間的五百年,忉利天才一晝夜;忉利天五百年,夜摩天才一晝夜;這樣一算,人間的一日,在夜摩天尚不及一秒。人間的一秒,在朝生夕死的蜉蝣,可能當作一晝夜,如此,時量實無準確可言!

娑婆世界的一劫,於阿彌陀佛的極樂世界才一晝夜;極樂世界的一劫,於金剛堅佛剎的袈裟幢世界才一晝夜;袈裟幢世界的一劫,於善勝光明蓮花開敷佛剎的不退轉音聲輪才一晝夜;不退轉音聲輪世界的一劫,於法幢佛剎的離垢世界才一晝夜;離垢世界的一劫,於獅佛剎的善燈世界才一晝夜;善燈世界的一劫,於光明幢佛剎的妙光明世界才一晝夜;妙光明世界的一劫,於法光明蓮花開敷佛剎的難超過世界才一晝夜;難超過世界的一劫,於一切神通光明佛剎的莊嚴慧世界才一晝夜;莊嚴慧世界的一劫,於月智佛剎的鏡光明世界才一晝夜;從鏡光明世界,如是乃至無數佛剎最後的一世界一劫,於賢勝佛剎的勝蓮花世界才一晝夜。從小處來看,我們娑婆世界的一劫,在勝蓮花世界裡有如一剎那;從大處來看,勝蓮花世界的一剎那,正如娑婆世界的一大劫。如此延促相差,可知我們這世界的時量是有情類幻覺中的假名了。

一隻蚊子,在一秒鐘內,能將他的翅膀振動五百至六百次,但人類即使是一個最優良的打字員,在一秒鐘內頂多也不過能按六到七下鍵盤,同樣的時間,卻有如此的懸殊,若不明白這都是有情界的幻相,那就永不能認識時間!

上來和諸君略釋佛教的數學,因限於時間,未能一一詳言,諸君果有興趣,對佛學稍加涉獵和注意,則諸君對數學的原理,宇宙人生的意義,當更有體會!



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