274　佛教的數學

時間：一九五三年九月七日　

地點：台北立信會計職業學校

諸君在這裡是研究會計學的，會計這一門學問是離不了數學的，無論是政府會計、銀行會計、成本會計、若沒有很好的數學基礎，也是不能入門的。現在我來和諸君談談佛教中的數學。

我們生存在這茫無邊際的世間上，一切的思想、言說，都是用推比來覺知的，這個推比首要的工具就是數量，不然的話，我們既無法求得覺知，亦無法運用思想言說。數量不離數學，一切科學是以數學基礎，即使哲學上也有人主張數量是宇宙萬有的本源（如老莊說「道」生一、一生二、二生三、三生萬物），這都是由於一般人懂得了比量而沒有了解到真現實量。

現在，我們就先從比量上的數學說起：

本來，數學並不是單來計算數量的，除了數量的計算以外，更有空量（空間）和時量（時間）的計算。數量的計算，好比二加二等於四，空量的計算如形體的幾何學，時量的計算即古今過去現在未來。但是，在空量和時量上，還是離開不了數量，所以，近人就綜合之稱為數學。

數學中既然分有數量、空量、時量，我現在就以佛學上的說法，把它一一解釋如下：

一、先解說數量

我們中國計算數量是以十進位，共計為：一、十、百、千、萬、億、兆、京、垓、秭、壤、溝、澗、正、載的等單位。實際上現在億以上都是由萬數來表達，比如十萬，百萬，千萬等，億兆的數量名稱已不多用，京垓秭壤更是少人知道了。

這不但中國是如此，就是說西洋的計數，雖然或者是不止這些單位，但實際用的也不過六、七位。佛教各經論中，計算數量多用洛叉（億）、俱胝（京）、阿僧祇等，實在已經超過人間常用的數位。在大小乘的論典中，以及《佛所行讚》、《法華經》、《華嚴經》等，雖然計算數法及數目多少的次序並不一致，但綜合的來看，還是一般的十進的加法與倍進的乘法而已。

現在解說佛經上的數量，分三點次第說明，一是代表初期小乘佛學的上座部說，二是代表後期小乘的《俱舍論》說，三是代表大乘學的《華嚴經》說。

初期的原始佛教，本分有上座部與大眾部，今日錫蘭、緬甸、暹羅所傳的佛教，就是屬於上座部，這一派對於數量的說法，根據所傳承而共信的，從十進百的十進位，共十六位，和我國的數量相較，已多了二位，因為中國雖然也說有十六位，但那是從一數起。上座部的十六位數量，並不是佛學所特有的，古來印度相傳的計算方法，就是這十六位，今列表如下：

十個十等於一百

十個百等於一千

十個千等於一萬

十個萬等於一洛叉（億）

十個洛叉等於一大洛叉（兆）

十個大洛叉等於一俱胝（京）

十個俱胝等於一額部曇（垓）

十個額部曇等於一缽曇摩

十個缽曇摩等於一大阿庾多

十個大阿庾多等於一那庾多

十個那庾多等於一大缽曇摩

十個大缽曇摩等於一缽羅庾多

十個缽羅庾多等於一三慕達羅（正）

十個三慕達羅等於一末陀（載）

十個末陀等於一大矜羯羅

十個大矜羯羅等於一頻跋羅

在這十六位的前面，如果再加上一數位及十數位，則成十八位，就是十個萬萬萬萬，我國的十六位不過是千個萬萬萬。

世界各國通用的數字，雖然至兆即止，但文化是發達進步的，佛教的學者們覺得此數還不夠用，所以又有《俱舍論》五十一位的數量位的產生。

《俱舍論》五十一位的數量位，也是十進法，把這五十一位的名稱寫在下面：



最高的五十一位阿僧祇數，就是千個萬萬萬萬萬萬萬萬萬萬萬萬萬的數量，佛經裡記載佛陀的說法，常用的阿僧祇的數位，就是指此數而說。在《華嚴經》中也曾說到阿僧祇，但那個阿僧祇並不是這裡所說的十進位的阿僧祇，因為數目分三等：一、下等數法，十十變之，二、中等數法，百變之，三、上等數法，倍倍變之。《華嚴經》所說，雖然駭人聽聞，但近來研究科學的學者，計算太陽系的原子數，或是計算太陽系生長變壞的秒數，應該是不為多。他們說：光的速率為一八六二八○哩，在一秒鐘內光能環繞地球七週半。據現代科學所能了知的宇宙直徑為一百萬萬光年，其質量為在一字的下面圈八十三個圈，即等於所有電子的質量，如果這個數字不用佛經中的數目表明，則一字之下圈八十三個圈的數量，將叫什麼名稱呢？即使以《俱舍論》所說的五十一位，也嫌不足，那只得進一步探究《華嚴經》所說的數位了。

《華嚴經》中所說的數量，是在《華嚴經》中的〈阿僧祇品〉，心王菩薩問佛：云何阿僧祇乃至不可說？佛就為他說算數無盡之法。

茲將《華嚴經》中所說的數量，列之於下：



至（以上十地菩薩數學）   　 阿僧祇（以下為佛陀之學）



《華嚴經》中所說的數量位共有一二六位，俱胝以前，是平常世俗的數位，都是十進的加法，俱胝以後，為一般科學者研究的數位，依此可以漸漸的測知佛陀所證知的數位。佛陀的數學，從阿僧祇起，共有二十位，這是用倍倍相乘的進法，其數之多，窮於計算。在《華嚴經》中，其餘各品都是菩薩說的，唯有這〈阿僧祇品〉是佛親口所說，菩薩只能從佛陀學習這樣的數學。因為虛空無盡，世界無盡，眾生無盡，若沒有佛陀的數學，則其中廣大狹小，一切名稱，無由得知，所以，唯有佛陀的智慧才能窮究數學之源。

二、次說空量

在數學裡，計算空間點線面積的是幾何學，佛學裡並不曾縝密的另創新說，不過，在大乘的學說中，對於空間，佛陀也曾汎言佛剎與微塵數，對於佛剎而論及十方無盡世界；對於微塵，並不詳言微塵的數量，以及微塵如何積聚而成佛剎。這是因為大乘人了解到有情的器世間等，都是幻象不真，所以只觀空而不分析；而小乘是以分析觀空，故對極微曾加以分析。當初印度的佛學者，對萬物起源的研究，認為是地水火風四大種因緣所組成，雖然一切萬物是四大種因緣組合而成，但四大種也必有他的出發點，以形成單位，然後山河大地，才得以形成。這種假想分析證明法，是說四大迭分迭細，至於極渺小的地位，科學經驗不能覺知，物理手續不能分割，此即名之為極微。近代科學家以物理的分析為最細小的是原子、電子，但電子還可分析，此即佛教中所說的極微。

今以小乘《俱舍論》，以最單點為極微，則七個極微為一個微量，積七個微量為一個金塵量，積七金塵為一水塵量，積七水塵為一兔毛塵量，積七兔毛塵為一羊毛塵量，積七羊毛塵為一牛毛塵量，積七牛毛塵為一隙遊塵量。這個隙遊塵飛散在空中，就是我們肉眼所見的色塵，其逐次增加的數目，列表如左：

極　微──一個極微

微──七個極微

金　塵──四十九個極微

水　塵──三四三個極微

兔毛塵──二四○一個極微

羊毛塵──一六八○七個極微

牛毛塵──十一萬七六四九個極微

隙遊塵──八十二萬三五四三個極微

以八十二萬三五四三個極微，成為一個隙遊塵，那麼，則極微的渺小，很可驚人了！

微塵是約集合空量的小數單位而言，若一個佛剎或一個國土，究以多少微塵集合而成，以我們普通的數法，那是難以計算的！

佛經裡講到空間的距離，依印度習俗都是用由旬，由旬梵語是踰繕那，華言限量，分有三等，上等由旬八十華里，中等由旬六十華里，下等由旬四十華里。佛經裡對於空間的距離，有時一說就是八萬四千由旬。有時一說就是十萬億佛土，實際上說來，這都是把抽象的變為具體罷了！

三、再說時量

我們看到月亮的圓缺，知道時間的運轉不停；我們體察心念的生滅，知道了時間的短暫。我們人類普通的計算時間，最短的是一瞬，為時間最小的單位；把時間說得很長的是生物學者，他們的生物紀一說都是若干萬年；地質學者更有較長的地層紀，他們一說都是幾千萬年；最長的是天文學者的天體紀，一說都是若干萬萬年。雖然如此，但與佛陀的相較，相差程度是不能想像的。

「一瞬」的正確時間究竟有多少？經過很多科學家實驗後的平均值是五分之二秒，這其中包括：放下眼瞼是十分之一秒，眼瞼放下後的停止狀態是十分之一點五秒，眼瞼又再提升是十分之一點五秒，總合之一瞬即五分之二秒。以我們中國計算時間的說法，從一瞬推上去是一須臾，但多少一瞬才為一須臾，是沒有辦法計算的。有的計算時間是三十須臾為一時辰，十二時辰為一晝夜，約三十晝夜為一月，三月為一季，四季為一年，三十年為一世，如此而止。現在世界所通用的是六十忽為一秒，六十秒為一分，十五分為一刻，四刻為一小時，二十四小時為一日，約三十日為一月，約三六五日分為十二月為一年，百年為一世紀，每逢百年增數為一世紀。

世間對時量的一般計算，略如上說，那麼佛學中的時量如何計算呢？

佛學中的時量，分小時、中時、大時，以《俱舍論》之說略解如下：

小時量的計算：在佛學中大抵是以「剎那」為時量最小的單位。在《仁王護國經》中說，梵語剎那，中國的意思名為一念，一念中有九十剎那，一剎那中有九百生滅，若具體一點說，所謂「少壯一彈指，六十三剎那」。一分鐘內，為四千五百個剎那。《大毗婆沙論》說一晝夜有六四六六○六六六八○剎那。實在說來，剎那的真量，除佛陀外餘皆不能盡知，因為能知的心念粗細懸殊，所知的時量也就千差萬別。今以《俱舍論》的說明如下：

百二十剎那為一怛剎那

六十怛剎那為一臘縛

三十臘縛為一牟呼栗多

五牟呼栗多為一迦攞

六迦攞為一晝夜

依這樣的推算，則一晝夜是三二八二萬剎那，比《毗婆沙論》的六十四萬萬六六○六萬六六八○個剎那為一晝夜的計算是粗顯得多了。因為這樣才便於常人及學者的運用，若準確微細計算時間，除了佛陀，不是我們心量所能覺察思辨的。

中時量的計算：佛經裡常有晝夜六時的記載，此即指六迦攞而言，一個晝夜，分為六時，晝三時，即上日（辰巳）中日（午未）下日（申酉），夜三時，即初夜（戌亥）中夜（子丑）後夜（寅卯）。從晝夜往上推，則為：

三十晝夜為一月

四個月為一季（我國三個月為一季，一年為春夏秋冬四季，蓋印度每年分寒季雨季熱季，與他處不同）

三季為一年

一百年為一世（我國三十年為一世）

五百年為一變（此可見於釋尊說法初五百年如何，後五百年如何可知）

一千年為一化（此可見釋尊說正法千年象法千年可知）

一萬二千年為一週（此可見釋尊說正法象法末法共為一萬二千年可知）

從中時量的計算，我們可以看出，佛教說小時量的單位為剎那，說大時量的為大劫，這是因為剎那便於體察心念的生滅，大劫便於說明物界成壞的相續，中時量對於人文的相續，較欠詳盡的發揮，所以對於年以上的世態變遷，就很難知道它的歷史了。

大時量的計算：佛學中說大時量常用「劫」字，劫就是大時的意思。分小劫中劫大劫三種。一個小劫究竟是多少時間？從人壽十歲算起，每過一百年增加一歲，加到八萬四千歲，然後再從八萬四千歲每隔一百年減一歲，減到十歲，總共一六八○萬年叫做一小劫。以此往上推，則為：

一個小劫為一六八○萬年

二十個小劫為一個中劫

四個中劫為一個大劫〔一個大劫中有成（世界生長期）住（世界壯盛期）壞（世界老死期）空（世界滅無期）〕，如此成住壞空相續循環一次為一大劫。

七個大劫（亦名火壞劫）為一水壞劫

七個水壞劫為一風壞劫

以這樣計算，一個風壞劫中有七水劫，四十九火劫，一九六中劫，三九二○小劫，六五八萬萬五千六百萬年。佛經裡常說的劫，大都指的這風水火的劫而言，有些經裡常說到釋尊修三大阿僧祇劫而得成佛果的故事，在這三大阿僧祇劫中，忍人所不能忍，行人所不能行，然後方於菩提樹下成等正覺。這種時量之長，真夠駭人！《阿彌陀經》中，說「阿彌陀佛成佛以來，於今十劫」的時量，也是很難計算的了。

四、佛教看數量

依佛教的真理來講數量，原來是：一個不是少，萬億不是多；一就是多，多不離一。

對佛教沒有研究的人，見了這句話，一定大惑不解，然而，這的確是一種真理，無法加以否認。

我們現在來講「一個」，什麼才叫做「一個」呢？我在這裡和諸位講話，「我」是一個；我在這間教室中講話，這間教室也是一個；這間教室在台北，台北也只一個；台北在台灣，台灣也只有一個；台灣是中國，中國也是一個；中國是世界的一環，世界也是一個；世界是虛空中的一個行星，然而虛空也是一個。宇宙中沒有兩個同樣的東西，然而這些「一個」，究竟哪「一個」多，哪「一個」少呢？所以，仔細的想想，一個實在不能說它是少的！反之，萬億也在「一個」之中，也不能說它多。因為一是不離多，多是不離一的。在佛教中，說萬物相關，萬物一體。一與多，相容相入，一就是多，多也就是一。好比說，零本來沒有，但把零圈在一萬萬的後面，這個零可就太多了。黑板的粉筆，這粉筆的一粒灰塵，就是集合了萬物的力量才能形成的。這一粒粉筆的灰塵，假若是白粉的泥土做的，那麼，就離不了做這支粉筆的模型、工作的人員、養活那些工作人員的衣食住行等資源，他們都有密切不能離開的關係。衣食住行從何而來？那又不能離開供給衣食住行的世界上一切的人，還有，產生這些原料的土地與日光空氣水，如果缺少一個，這點粉筆的灰塵都不會做成，都不會落在這裡。所以說一中含多，多中含一；一個不是少，億萬不是多，一與多是表裡的關係，並沒有特別的兩樣。

實在說來，這一與多，本來是不可說的，在《維摩經》中，文殊問維摩詰：「何等是菩薩入不二法門？」時維摩詰默然無言！文殊歎曰：「善哉！乃至無有文字語言，是真入不二法門。」「不二法門」，這正是數量無一無多的最好說明。

五、佛教看空量

依佛教的真理來講空量，原來是：

大中有小，小中含大；遠不在天邊，近不在眼前。

研究佛教的人，都知道螺螄殼內，諸佛菩薩可以作道場，這是多麼不可思議的境界！佛於一毫端中，光明能遍周法界，這又是多麼難猜測的事情！然而，這絕不是異想天開的神話，而確是如此的。

前面曾說過，空量的最小是微塵，最大的是剎土。現在假定說，十萬萬個太陽系，大千世界為最大量，這是今日天文學中所能窺探的，但這只是人類比量所知的境界，若以人身上的細胞來說，把我們人身看成是地球，而人間的地球，即成為不可知的宇宙。如果拿色究竟天的有情來說，他們身高十萬踰繕那，大於地球好多倍，我們此世界人類，其小甚於彼身上的細胞。一隻烏龜每小時可走七公尺，在同一時間內，一隻兔子可跑六十五公里。人類嫌其狹小的花園，一隻螞蟻走進去可能找不到家。如此大小相差，長短距離，廣狹厚薄，以及南北東西，上下之量，那實在是不能有一定的說法了。

佛教裡有兩句話：「須彌藏芥子，芥子納須彌。」過去有一個讀書人不懂，問一位師父：「師父！你們佛教中這兩句話，第一句須彌能藏芥子，倒也罷了，但第二句太不通，因為芥子怎麼好納須彌呢？」師父回答說：「你們讀書人知道『讀書破萬卷，落筆如有神』這兩句話嗎？這萬卷書讀到什麼地方去了呢？」那位讀書人把肚子一拍說：「讀在我的肚子裡呀！」師父又說：「既然萬卷書都能讀進你的肚子裡去，那麼，這裡有一本書請你裝進肚子裡去吧！」那個人被師父這麼一說，方才悟到空量的大小原來是這樣相容的！

佛說一微塵中有無數剎（一剎即為億萬太陽系），無數剎中有無數佛，一一佛身各毛孔中有無數剎，剎中佛身，佛身毛孔，毛孔中剎，重重無盡，這樣看來，極小的極微又不知大於太陽系多少倍了。從此可知，我們今日所知的空量，皆是此世界有情幻覺中的幻相，因為有情界各有各的不同空量。我們從中國到日本，相隔數千里，即使坐噴射客機，也要幾個小時；西方極樂世界，離此十萬億佛土，一念之中，即可往生；此可知空量的距離，近不在眼前，遠亦不在天邊。

六、佛教看時量

依佛教的真理來講時量，原來是：促一剎那而非短， 延無量劫而非長。

我們從世間的有情界來看時間，所謂長短久暫，延促相差，都是幻覺不真。

親朋好友相聚歡談的時候，數小時等於一瞬；怨家對頭相逢一起的當兒，幾分鐘也好似歷時數年。蜉蝣不知晝夜，朝生夕死；彭祖八百歲，幾經滄桑；他們都覺得同樣的度過了一生，生命的久暫本來都是幻覺而不實在的。

我們看到日出日沒，知道是日已過，但地球上半年有太陽，半年無太陽，他們的一日如何計算？人間的五百年，忉利天才一晝夜；忉利天五百年，夜摩天才一晝夜；這樣一算，人間的一日，在夜摩天尚不及一秒。人間的一秒，在朝生夕死的蜉蝣，可能當作一晝夜，如此，時量實無準確可言！

娑婆世界的一劫，於阿彌陀佛的極樂世界才一晝夜；極樂世界的一劫，於金剛堅佛剎的袈裟幢世界才一晝夜；袈裟幢世界的一劫，於善勝光明蓮花開敷佛剎的不退轉音聲輪才一晝夜；不退轉音聲輪世界的一劫，於法幢佛剎的離垢世界才一晝夜；離垢世界的一劫，於獅佛剎的善燈世界才一晝夜；善燈世界的一劫，於光明幢佛剎的妙光明世界才一晝夜；妙光明世界的一劫，於法光明蓮花開敷佛剎的難超過世界才一晝夜；難超過世界的一劫，於一切神通光明佛剎的莊嚴慧世界才一晝夜；莊嚴慧世界的一劫，於月智佛剎的鏡光明世界才一晝夜；從鏡光明世界，如是乃至無數佛剎最後的一世界一劫，於賢勝佛剎的勝蓮花世界才一晝夜。從小處來看，我們娑婆世界的一劫，在勝蓮花世界裡有如一剎那；從大處來看，勝蓮花世界的一剎那，正如娑婆世界的一大劫。如此延促相差，可知我們這世界的時量是有情類幻覺中的假名了。

一隻蚊子，在一秒鐘內，能將他的翅膀振動五百至六百次，但人類即使是一個最優良的打字員，在一秒鐘內頂多也不過能按六到七下鍵盤，同樣的時間，卻有如此的懸殊，若不明白這都是有情界的幻相，那就永不能認識時間！

上來和諸君略釋佛教的數學，因限於時間，未能一一詳言，諸君果有興趣，對佛學稍加涉獵和注意，則諸君對數學的原理，宇宙人生的意義，當更有體會！