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306 佛教與數學

數學是計算數量、空量(空間)、時量(時間)之學。數量的計算,好比二加二等於四;空量的計算,如形體的幾何學;時量的計算,即過去、現在、未來的時間累計。但是,在空量(空間)和時量(時間)的計算上,還是離開不了數量,所以現代人就綜合稱之為數學。

數學的萌芽是人類思想進化的結果,其與人類的生活關係十分密切,舉凡我們一切的思想、言說,都是用推比來覺知的,而推比的首要工具就是數量,否則我們既無法求得覺知,也無法運用思想與言說。

數學與佛教的關係也是密不可分,因為人活在世界上,離開不了時間、空間、人間等三者的關係。佛教為了闡明宇宙人生的真理,自然脫離不了對時空及人事物的介紹,因此佛經中處處可見帶有數字的佛教名詞,例如:一心、二門、三界、四諦、五蘊、六度、七聖財、八正道、九品蓮花、十方法界、十二因緣、五位百法、八萬四千法門、十萬億佛土等。《增一阿含經》就是以數字為核心,再加以解說佛教名詞的經典,《法集名數經》也是列舉法數的經典。唐代李師政編《法門名義集》,明代一如編《大明三藏法數》等,都是蒐集法數的著作,可見數學是佛教用來詮釋教義的重要工具。

佛典中的數學

數學中既然分有數量、空量、時量,今就佛學上的說法加以一一解釋如下:

一、數量單位

中國傳統計算數量是採十進位,共計為:一、十、百、千、萬、億、兆、京、垓、秭、壤、溝、澗、正、載等單位。實際上,現在「億」以上都是由萬數來表達,比如萬、百萬、千萬等,億兆的數量名稱已不多用,京、垓、秭、壤更是少人使用。

不但中國如此,就是西洋的計數,實際上使用的也不過六、七位。佛教各經論中,計算數量多用洛叉(億)、俱胝(京)、阿僧祇等,實已超過常用的數位。在大小乘的論典中,以及《佛所行讚》、《法華經》、《華嚴經》等,雖然計算數法及數目的次序並不一致,但綜合來看,還是一般十進的加法與倍進的乘法。

佛經上的數量說明有三種:一、是代表初期小乘佛學的上座部說;二、是代表後期小乘的《俱舍論》說;三、是代表大乘學的《華嚴經》說。

初期的原始佛教,有上座部與大眾部之分,今日錫蘭、緬甸、暹羅所傳的佛教,就屬上座部。上座部對於數量的說法是用十進位,共有十六位。此十六位數量並不是佛學所特有的,是古來印度相傳的計算方法,今列表如下:

十個十等於一百

十個百等於一千

十個千等於一萬

十個萬等於一洛叉(億)

十個洛叉等於一大洛叉(兆)

十個大洛叉等於一俱胝(京)

十個俱胝等於一額部曇(垓)

十個額部曇等於一缽曇摩

十個缽曇摩等於一大阿庾多

十個阿庾多等於一那庾多

十個那庾多等於一大缽曇摩

十個大缽曇摩等於一缽羅庾多

十個缽羅庾多等於一三慕達羅(正)

十個三慕達羅等於一末陀(載)

十個末陀等於一大矜羯羅

十個大矜羯羅等於一頻跋羅

世界各國通用的數字,雖然至兆即止,但文化是發達進步的,佛教的學者們覺得這些數字還不夠用,所以又有《俱舍論》五十二位數的產生。

《俱舍論》五十二數也是十進位,最高的五十二位數是阿僧祇。在《華嚴經》中也曾說到阿僧祇,並以一阿僧祇為單位,漸次轉倍,至不可說不可說,即:阿僧祇、無量、無邊、無等、不可數、不可稱、不可思、不可量、不可說、不可說不可說,稱為十大數。十大數的計數法為:阿僧祇乘以阿僧祇,得阿僧祇轉;阿僧祇轉乘以阿僧祇轉,得無量,以下類推。

《華嚴經》所說雖然令人不可思議,但據科學家們的研究:光的速率為每秒三十萬公里,一秒鐘內能環繞地球七週半;又宇宙直徑約為九百三十億光年,若換算成公里,其數目大約是九的後面有二十四個零。如果這個數字不用佛經中的數目表明,則九之下圈二十四個零的數量,又將如何稱呼呢?只有以《俱舍論》所說的五十二位,甚至以《華嚴經》所說的數位才能進一步來探究了。

《華嚴經》所說的數量位共有一百二十六位,俱胝以前是世俗的數位,都是十進的加法,俱胝以後,為一般科學者研究的數位,依此可以漸漸的了解佛陀所證知的數位。唯佛陀所能解的數學,從阿僧祇起,共有二十位,這是用倍倍相乘的進法,其數之多,窮於計算。又因為虛空無盡,世界無盡,眾生無盡,幸賴佛陀的智慧剖析,使一切廣闊精微各有其名稱。所以,唯有佛陀的智慧才能窮究數學之源。

二、空量單位

在數學裡,計算空間點線面積的是幾何學,佛學裡並不曾縝密的另創新說,不過,在大乘的學說中,對於空間,佛陀曾汎言佛剎與微塵數,對於佛剎,則論及十方無量無邊的世界;對於微塵,並未詳言微塵的數量,以及微塵如何積聚而成佛剎。這是因為大乘以有情的器世間等,都是幻象不真,所以只觀空而不分析;而小乘是以分析觀空,所以對極微曾加以分析。當初印度的佛學者,對萬物起源的研究,認為是地水火風四大種假因緣所組成,但四大種也必有其出發點,以形成單位,然後山河大地才不致等於龜毛兔角。這種假想分析證明法,是說四大迭分迭細,至於極渺小的地位,科學經驗不能覺知,物理手續不能分割,此即名之為極微。近代科學家以物理的分析為最細小的是原子、電子,但電子還可分析,此即佛教所說的極微。

今以小乘《俱舍論》為例說明,以七個極微為一個微量,積七個微量為一個金塵量,積七金塵為一水塵量,積七水塵為一兔毛塵量,積七兔毛塵為一羊毛塵量,積七羊毛塵為一牛毛塵量,積七牛毛塵為一隙遊塵量,積七隙遊塵為蟣,七蟣為一虱,七虱為穬麥,七麥為指節,三節為一指。

佛經常常以微塵比喻量極小,若一個佛剎或一個國土,究以多少微塵集合而成,以我們普通的數法,那是難以計算的。

佛經裡講到空間的距離,依印度習俗都是用「由旬」,由旬,梵語是踰繕那,華言限量,分有三等,上等由旬八十華里,中等由旬六十華里,下等由旬四十華里。佛經裡對於空間的距離,或八萬四千由旬,或十萬億佛土,如是之說是將抽象概念變為具體數字而已。

三、時量單位

一瞬,為世間計算時間最小的單位;把時間延伸的是生物學者,他們的生物紀一說都是若干萬年;地質學者更有較長的地層紀,他們一說都是幾千萬年;最長的是天文學者的天體紀,一說都是若干萬萬年。雖然如此,與佛陀所說相比較,相差仍然甚遠。

佛學中的時量,分小時、中時、大時,以《俱舍論》的說法略解如下:

1.小時量的計算:「剎那」是時間的最小單位。據《俱舍論》卷十二記載,一百二十剎那為一怛剎那,六十怛剎那為一臘縛,三十臘縛為一牟呼栗多,三十牟呼栗多為一晝一夜,三十晝夜為一月,總十二月為一年,於一年中分為三際,即寒、熱、雨各有四月。又說:壯士一彈指頃,有六十五剎那。《仁王經‧觀空品》載,九十剎那為一念,一剎那有九百生滅。而《往生論註》則說一剎那有一百零一生滅。

實在說來,剎那的真量,除佛陀外,餘皆不能盡知,因為能知的心念粗細懸殊,所知的時量也就千差萬別。

2.中時量的計算:佛經中一個晝夜分為六時:晝三時,即上日(辰巳)、中日(午未)、下日(申酉);夜三時,即初夜(戌亥)、中夜(子丑)、後夜(寅卯)。從晝夜往上推,則為:

三十晝夜為一月

四個月為一季(我國三個月為一季,一年為春夏秋冬四季。印度每年分寒季、雨季、熱季,與他處不同)

三季為一年

一百年為一世(我國三十年為一世)

五百年為一變(此可見於佛陀說法初五百年如何,後五百年如何)

一千年為一化(此可見佛陀說正法千年、像法千年)

一萬二千年為一週(此可見佛陀說正法、像法、末法共為一萬二千年)

3.大時量的計算:佛學中說大時量常用「劫」字,劫就是大時的意思。分小劫、中劫、大劫三種。從人壽十歲算起,每過一百年增加一歲,加到八萬四千歲,然後再從八萬四千歲每隔一百年減一歲,減到十歲,總共一千六百八十萬年稱為一小劫。以此往上推,則為:

一個小劫為一千六百八十萬年

二十個小劫為一個中劫

四個中劫為一個大劫,一個大劫中有成(世界生長期)、住(世界壯盛期)、壞(世界老死期)、空(世界滅無期),如此成住壞空相續循環一次為一大劫。

七個大劫(亦名火壞劫)為一水壞劫

七個水壞劫為一風壞劫

以這樣計算,一個風壞劫中有七水劫,四十九火劫,一百九十六中劫,三千九百二十小劫,六百五十八億五千六百萬年。佛經裡常說的劫,大都指的這風水火的劫而言。經裡亦曾說到佛陀三大阿僧祇劫修行成佛的故事,在三大阿僧祇劫中,忍人所不能忍,行人所不能行,然後方於菩提樹下成等正覺。這種時量之長,與《彌陀經》中說「阿彌陀佛成佛以來,於今十劫」的時量一樣難以計算。

佛教對數學的看法

一、佛教看數量

「一個不是少,萬億不是多。一就是多,多不離一。」

對佛教沒有研究的人,見了這句話,一定大惑不解,然而,這的確是一種無法加以否認的真理。

試以「一個」而言:「我」是一個;如果我在教室中講話,這間教室也是一個;這間教室在台北,台北也只有一個;台北在台灣,台灣也只有一個;台灣在中國,中國也是一個;中國是世界的一環,世界也是一個;世界在虛空中,然而虛空也是一個。宇宙中沒有兩個同樣的東西,然而這些「一個」,究竟哪「一個」多,哪「一個」少呢?仔細思量,「一個」實不為少。

反之,萬億也在「一個」之中,也不能說它多。因為一是不離多,多是不離一的。在佛教中,說萬物相關,萬物一體。一與多,相容相入,一就是多,多也就是一。所以說一中含多,多中含一;一個不是少,億萬不是多,一與多是表裡的關係,並沒有特別的兩樣。

二、佛教看空量

「大中有小,小中含大。遠不在天邊,近不在眼前。」

研究佛教的人,都知道螺螄殼內,諸佛菩薩可以作道場,這是多麼不可思議的境界。佛於一毫端中,光明能周遍法界,這又是多麼難以凡情測度的事情。然而,這絕不是異想天開的神話,的確是如此的。

今以人身上的細胞來說,細胞若把我們人身看成是地球,而人間的地球對細胞而言,即成為不可知的宇宙。如果拿色究竟天的有情來說,他們身高十萬踰繕那,大於地球好多倍,我們人類之渺小甚於彼身上的細胞。又如:一隻烏龜每小時可走七公尺,在同一時間內,一隻兔子可跑六十五公里。人類認為狹小的花園,一隻螞蟻走進去可能找不到家。如此大小相差,長短距離,廣狹厚薄,以及南北東西上下之量,實在很難有一定的說法。

佛說:一微塵中有無數剎(一剎即為億萬太陽系),無數剎中有無數佛,一一佛身各毛孔中有無數剎,剎中佛身,佛身毛孔,毛孔中剎,重重無盡,如此,則極小的極微又不知大於太陽系多少倍了。由此可知,我們今日所知的空量,皆是此世界有情幻覺中的幻相,因為有情界各有各的不同空量。例如:我們從中國到日本,相隔數千里,即使坐噴射客機,也要幾個小時;而西方極樂世界離此十萬億佛土,一念之中即可往生;由此可知空量的距離,近不在眼前,遠亦不在天邊。

三、佛教看時量

「剎那而非短,延無量劫而非長。」

我們從世間的有情界來看時間,所謂長短久暫,延促相差,都是幻覺不真。如親朋好友相聚歡談的時候,數小時等於一瞬;怨家對頭相逢一起的當兒,幾分鐘也好似歷時數年。蜉蝣不知晝夜,朝生夕死;彭祖八百歲,幾經滄桑;他們都覺得同樣的度過了一生,生命的久暫本來都是幻覺而不實在的。人間的五百年,忉利天才一晝夜;忉利天五百年,夜摩天才一晝夜。這樣一算,人間的一日,在夜摩天尚不及一秒;人間的一秒,在朝生夕死的蜉蝣,可能當作一晝夜,如此,時量實無標準可言。

娑婆世界的一劫,於阿彌陀佛的極樂世界才一晝夜;極樂世界的一劫,於金剛堅佛剎的袈裟幢世界才一晝夜;袈裟幢世界的一劫,於善勝光明蓮花開敷佛剎的不退轉音聲輪才一晝夜;不退轉音聲輪世界的一劫,於法幢佛剎的離垢世界才一晝夜;離垢世界的一劫,於獅佛剎的善燈世界才一晝夜;善燈世界的一劫,於光明幢佛剎的妙光明世界才一晝夜;妙光明世界的一劫,於法光明蓮花開敷佛剎的難超過世界才一晝夜;難超過世界的一劫,於一切神通光明佛剎的莊嚴慧世界才一晝夜;莊嚴慧世界的一劫,於月智佛剎的鏡光明世界才一晝夜;從鏡光明世界,如是乃至無數佛剎最後的一世界一劫,於賢勝佛剎的勝蓮花世界才一晝夜。從小處來看,我們娑婆世界的一劫,在勝蓮花世界裡有如一剎那;從大處來看,勝蓮花世界的一剎那,正如娑婆世界的一大劫。如此延促相差,可知我們這世界的時量是有情類幻覺中的假名了。

一隻蚊子,在一秒鐘內,能將牠的翅膀振動五百至六百次,但人類即使是一個最優良的打字員,在一秒鐘內頂多能按六到七下鍵盤,同樣的時間,卻有如此的懸殊,若不明白這都是有情世界的幻相,那就永遠不能認識時間。

經云:「心包太虛,量周沙界。」又說法身「遍虛空,盡法界,豎窮三際,橫遍十方」,乃至「一念三千」,一心具足三千大千世界等,這些都代表佛教對時空數的宏觀。尤其經典中詮釋數量、時量、空量有所謂「一個不算少,萬億不算多」、「微塵不算小,虛空不算大」、「剎那不算短,劫波不算長」的理念,在在說明佛陀對數學的透析,已非一般的數學研究者所能比擬。佛教的數學其實已經大大超出數據的功能,它不僅開展我們的思想領域,擴大我們的生命價值,尤其啟示我們對世間生活應有的認識:在數量上不必求多,在空量上不必求大,在時量上不必求長。因為,外在的虛空,一個人窮其一生所能到達的,只不過如微塵般而已。一個人即使能活一百二十歲,但以無始無終的阿僧祇劫來看,也不過如朝露般短暫。重要的是,要能體會心內的空間,開闊心內的空間。心內有了寬闊的空間,就能包容宇宙虛空。

由此可見,佛教的數學觀對人生具有極深遠的啟迪作用。

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